Die Aby-Warburg-Stiftung dient dem Zweck, die Wissenschaft in Hamburg zu fördern. Benannt ist sie nach Aby M. Warburg (1866-1929), Erbe der Hamburger Warburg-Bank, der auf sein Erbe verzichtet hatte, stattdessen Kunstgeschichte studierte und sich als Gelehrter sowie Gründer einer kulturwissenschaftlichen Bibliothek einen Namen machte. Vorstandsvorsitzender der Stiftung ist der jeweilige Präses der Behörde für Wissenschaft und Forschung der Freien und Hansestadt Hamburg.
Der Stiftung gehört das 1926 erbaute Warburg-Haus, in dem der Namensgeber seine seit 1903 aufgebaute Bibliothek untergebracht hatte. Die Bibliothek besteht noch heute als „Warburg Institute“ in London, eine der Stiftung eng verbundene Institution. In die englische Hauptstadt hatte Warburg die mittlerweile 60.000 Bände seiner Bibliothek bringen lassen, nachdem in Deutschland die Nationalsozialisten an die Macht gekommen waren.
Das Haus ist heute renoviert mit seinem denkmalgerecht wiederhergestellten ovalen Lesesaal als zentralem Raum, den Warburg einst „Arena der Wissenschaft“ getauft hatte. Auch deswegen legt die Stiftung, die eine Gastprofessur unterhält, besonderen Wert auf die Förderung des Vortragswesens. Heute ist Warburgs Wissenschaftsarena Schauplatz von Tagungen, Seminaren und Symposien. Regelmäßig sind renommierte Geistes- und Sozialwissenschaftler zu Gast, um von ihrer Arbeit zu berichten.
Jährlich verleiht die Stiftung einen Wissenschaftspreis, dessen Gewinner im Warburg-Haus vorträgt. An hervorragende Nachwuchswissenschaftler vergibt die Aby-Warburg-Stiftung in Absprache mit einem internationalen Gremium Stipendien. Die Stipendiaten sind angehalten, die enge Verbindung des Hamburger Hauses mit dem Londoner „Warburg Institute“ zu ehren.
Herausragenden Wissenschaftlern aus aller Welt gewährt die Stiftung Forschungsaufenthalte in Hamburg und stellt ihnen Wohn- und Arbeitsräume im Warburg-Haus zur Verfügung. Vom Austausch mit der heimischen Wissenschaftselite sollen die Gäste ebenso profitieren wie die Hanseaten.
Neben der Förderung der Vortragstradition ist es besonderes Anliegen der Stiftung, die unter ihrem Dach geführten Debatten und gewonnenen Erkenntnisse der breiten Öffentlichkeit ebenso zugänglich zu machen wie der Fachwelt. „Vorträge aus dem Warburg-Haus“ und „Studien aus dem Warburg-Haus“ heißen die beiden Publikationen der Stiftung, die das wissenschaftliche Geschehen im Warburg-Haus nach draußen transportieren.